数学家 Jeff Kahn 和 Gil Kalai 在 2006 年首次提出“期望阈值”猜想时，他们自己都不相信。他们声称——对名为随机图的数学对象的广泛论断——似乎太强大、太包罗万象，也太大胆，所以不可能是真的。这更像是一种一厢情愿的想法，而不是数学真理。即便如此，没人能证明它是错误的，它很快成为该领域最重要的开放问题之一。15 年多时间过去了，斯坦福大学的一对年轻的数学家完成 了 Kahn 和 Kalai 认为不可能做到的事情：在几周前发布在网上的一份令人惊讶的简短预印本论文中，Jinyoung Park 和 Huy Tuan Pham 给出了对该猜想的完整证明。这一成果自动证明了数以百计更具体的陈述，每一种陈述都很难单独证明——且它对我们更广泛地理解随机图和数学集有更深层次的影响。Kahn-Kalai 猜想非常广泛——它是用集合及其元素的抽象语言写成的——但是可通过简单的例子理解它。首先，想象一张图：一组由线或边连接的点或者顶点。要制作随机图，请取出一枚偏币（biased coin）——一个落下来有 1%、30% 或者是 0 到 100 之间任意百分比概率正面朝上的硬币——然后针对给定的一对定点掷一次硬币。如果硬币落下来是正面朝上，就将这两个点用边线连接起来；如果硬币反面朝上，就不要这样做。对每一对可能的顶点都重复这个过程。